Парадоксът Банах-Тарски в Петербург на Андрей Бели

 

Андрей Бели (1880-1934) е поет, белетрист и теоретик, лидер на течението на символизма в Русия в началото на XX век. Най-анализираната му книга е модернистичният роман „Петербург“, публикуван на части през 1913-1914 година, а след това в преработено и съкратено издание през 1922 г. Владимир Набоков (1899-1977) определя „Петербург“ като една от четирите най-велики белетристични творби на XX век наред с „Одисей“ на Джойс, „Метаморфозата“ на Кафка и „По следите на изгубеното време“ на Пруст.
Новата посока в научните изследвания е свързана с по-доброто разбиране на произхода и значението на изключително често срещаната математическа образност в „Петербург“. Не е изненада, че Бели е проявявал интерес към математиката. Баща му, Николай Бугаев (1837-1903), е влиятелен математик, на когото е приписвано създаването на Московското математическо общество, един от най-дейните и успешни математически кръгове в съвременната история. Освен това, докато Бели следва природни науки в Московския университет, преди да се ориентира професионално към сферата на литературата, двама от най-близките му състуденти са ученици на Бугаев: Николай Лузин (1883-1950), който ръководи Московското математическо общество в продължение на доста години, и Павел Флоренски (1882-1937), символист, който, освен всичко останало, е руски православен свещеник и математик.
 
Един от най-широко използваните и значими символи в „Петербург“ е на разширяващата се и впоследствие експлодираща сфера. С нея се описва усещането в гърдите на трима от героите, породено от тревожност и симптоми на сърдечно заболяване, а също така тя загатва за бомбата, която единият от героите дава на втори, за да я използва върху трети. Редица учени твърдят, че сферата играе ролята на Вагнеров лайтмотив и че метафизическият й смисъл е свързан с космическата термодинамика, Дионисиевия скок, кръговостта на мисленето, на еволюцията и на поведението. Както обясняваме в тази статия, до момента математическата интерпретация на разширяващите се сфери на Бели не е изследвана. А тя почива на теорема (изумителният парадокс на Банах-Тарски), появила се десетилетие след излизането на романа.
Възможно ли е Бели да е вдъхновил Стефан Банах (1892-1945) и Алфред Тарски (1901-1983)? Възможно ли е по-ранни версии на теоремата да са вдъхновили Бели? Макар отговорът и на двата въпроса да е „по-скоро не“, ние все пак проследяваме историческите развития, които може да са причината Бели да се запознае с математическите идеи, предхождащи теоремата на Банах-Тарски. Бели вярва в спиритуалните връзки и мистичните предсказания, затова и проследяваме понякога изумителните съвпадения, сродяващи „Петербург“ с парадокса на Банах-Тарски.
 
Свързване на точките
Лесно е да свържем автора на „Петербург“ Андрей Бели с Московското математическо общество. Както споменахме по-горе, бащата на Бели, Бугаев, основава обществото и докато следва в университета, Бели е приятел с Лузин и Флоренски, двама ученици по математика на Бугаев, които играят важна роля в математическото общество. Ясно е, че Лузин и Флоренски са говорели за политика, философия и математика с Бели. Тъй като тримата завършват в периода 1903 г. – 1905 г., можем да предположим, че Бели е бил в течение на вълненията около теорията на Кантор, която доминира математиката по онова време, а също е бил запознат и с реакцията на Московската школа.
Но за да свържем Бели с парадокса на Банах-Тарски и предшествениците му, имаме нужда от връзка между Московското общество и Полската школа. Всъщност, такава връзка съществува и това е Вацлав Серпински[1]. През 1914 г., докато е професор в университета в Лвов, Полша (и когато публикува парадокса на плоскостта заедно със Стефан Мазуркевич), Серпински заминава за Русия да посети членове на семейството си. По същото време избухва Първата световна война и той е затворен от царските власти във Вятка (днешен Киров), Русия. Николай Лузин е наясно с математическите успехи на Серпински и щом получава вест, че полският му колега е затворник, успява да уреди освобождаването и прехвърлянето му в Москва. Серпински прекарва остатъка от войната (1915-1918), дълбоко погълнат от дейността на Московското математическо общество, работейки тясно с Лузин, преди да се завърне в Полша и да прекара остатъка от кариерата си във Варшавския университет.
Лузин се явява пряката връзка между съученика и приятеля си - писателя Андрей Бели - от една страна, и сътрудника си по време на войната - математика Серпински – от друга. Именно Серпински, който през московските си години вече е утвърден експерт по геометрични парадокси, става авторитетът, детайлно запознат с теорията на Банах-Тарски. Проблемът обаче се състои в това, че Серпински пристига в Москва в годината, когато Бели завършва публикуването на романа „Петербург“. Ако символът на разширяващата се и избухваща сфера бе добавка към изданието от 1922 г. и липсваше от изданието от 1913 г. – 1914 г., тогава уверено можеше да се твърди, че Серпински, посредством Лузин, е повлиял върху творбата на Бели, но нещата не стоят така. Сферите, подобни на тези от парадокса на Банах-Тарски, са точно толкова видими и повсеместни в първото издание на романа, колкото и във второто.
В същото време фактът, че Лузин е положил изключителни усилия, за да спаси и премести Серпински през 1914 г., предполага, че по това време Лузин вече е бил донякъде запознат с работата на Серпински, което означава, че може би е следил публикациите му в продължение на няколко години. Така и Бели, докато е писал романа си, може да е познавал или поне да е имал бегла представа за постиженията на Серпински и останалите от Полската школа. Но геометричните парадокси отпреди 1914 г. не приличат по нищо на символизма на сферите в „Петербург“. Ето защо, макар и да не е нулева, вероятността съвременните геометрични парадокси да са повлияли романа на Бели, е доста минимална.
И тъй като не разполагаме с повече доказателства, разкриващи категорично влияние в едната или другата посока, трябва да приемем вероятността приликите между разширяващите се сфери в работата на Бели и Банах-Тарски да са просто съвпадение.
 
Разширяващи се сфери в „Петербург”
В една от известните си формулировки парадоксът на Банах-Тарски включва сфера, която увеличава размерите си, разделяйки се на парчета, които след това се наместват чрез ротация. В „Петербург“ има множество абзаци, които напомнят на тази ситуация. Например: „Сърцето му биеше и се разширяваше, а в гърдите му се надигна усещане за алена сфера, готова да се пръсне на парчета.“ Също така: „…душата му се превръщаше в повърхността на огромен, бързо разрастващ се балон, който се бе раздул до орбитата на Сатурн. О, о, о! Тръпки преминаваха през Николай Аполонович. Ветрове обрамчваха челото му. Всичко избухваше“. И още един пример:
„Бомбата е бързо разширяване на газове. Сферичността на разширяването го накара да изпита отдавна забравен първичен ужас. В детството си той бе изпитвал делириум. Нощем малка еластична топчица понякога се материализираше пред него и започваше да подскача – може би бе направена от гума, а може би от материята на много странни светове. […] Докато се раздуваше страховито, често приемаше формата на сферичен дебелак. Този дебелак, след като се бе превърнал в тормозеща го сфера, продължаваше да се разширява и разширява, и разширява, заплашвайки да го връхлети. […] И избухваше на парченца. Николенка започваше да крещи безсмислени неща: че и той става сферичен, че е нула, че всичко в него заприличва на нули, нули, нуууууули…“
Николенка крие бомба в стаята си и чака да я използва срещу баща си като част от терористичен революционен заговор, в който неохотно участва. Разширяващата се сфера представлява бомба, която няма как да бъде обезвредена, а освен това и терзанията на Николенка заради надвисналото отцеубийство.
Парадоксът на Банах-Тарски (който, както видяхме, не съществува, докато Бели пише) се смята от мнозина от математическата общност за своего рода предизвикваща тревожност бомба. За онези, които в началото на XX век посвещават живота си на заздравяването на основите на теорията на множествата, парадоксът на Банах-Тарски може да е водил до кошмарни видения, подобни на описаните от Бели.
Юрий Манин (роден 1937 г.), който е важен член на Московското математическо общество, споделя в едно неотдавнашно интервю:
„Вземете например теоремата на Банах-Тарски. Започва се с една топка и се оказва, че можете да разрежете топката на пет части, да ги преподредите и сглобите, като така получавате две топки със същите размери като първоначалната. Тази конструкция ни казва доста. Например, за критиците на теорията за множествата тя означава, че в случая не става дума за математика, а за някаква дива щуротия. За логиците е пример за парадоксалното приложение на Аксиомата за избора на Цермело и в същото време е аргумент против приемането й. Но като пренебрегнем мненията на едните и другите, ще видим, че става дума за една много красива геометрия.“
Манин продължава, като обяснява как парадоксът на Банах-Тарски и други подобни теории не правят на пух и прах фундаментите на математиката и не забавят математическия прогрес, а – напротив - помагат в дълбочина да разберем най-различни явления:
„Няколко подобни парадокса бяха открити по време на прехода от класическата математика към математиката на множествата. Съществува теорема, че крива може да изпълни квадрат. Имаше доста подобни неща и от тях научихме много. Редица хора смятаха, че това е чиста фантастика, но новообученото въображение ни позволи да разпознаем „парадоксалното“ поведение и в реда на Фурие, и в Брауновото движение. Така, в крайна сметка, се оказа, че това не е фантастика, а едва ли не приложна математика.“
Манин ни предлага и полезен начин за интуитивно разбиране на теоремата на Банах-Тарски, така че да не ни се струва толкова объркваща, колкото изглежда:
„Ключовият момент е да не си представяме „парчетата“ като твърди материални предмети, а по-скоро като облаци от точки. Трябва да си представим, че топката се състои от неделими точки. Можете да наречете „парче“ всяко подмножество от тези точки, можете да го местите и преобръщате, но само като нещо цялостно, така че разстоянията между точките остават едни и същи. По този начин разделяте сферата не на материални парчета, а на пет „облака“. Тези облаци могат взаимно да проникват един в друг, тъй като в тях няма нищо материално. Нямат обем, нито тегло, те са прекрасни предмети на едно силно развито въображение. […] Смисълът тук е, че ако направите „прах“ от единичните точки на първоначалната топка, ще имате достатъчно точки да направите две, три, седем или безкраен брой топки от най-различен размер“.
Любопитно е, че друг важен символ в „Петербург“ са рояци от малки, неразличими предмети - „облаци“ от точки. Следният абзац от „Петербург“ предава интерпретацията на Манин за парадокса – „рояци от точки, които се въртят, така че да могат да образуват всяка възможна форма („силната форма“ на парадокса) – до почти свръхестествена степен”, особено като се има предвид, че Манин споделя виждането си почти век след романа на Бели:
„Аблеухов видя ярки петна и точки светлина, и нажежени танцуващи точки с въртящи се центрове. […] И замъглените точки и звезди, сякаш пяната на бълбукаща чернилка, неочаквано и внезапно се оформяха в ясна картина: в кръст, в многостен, в лебед, в изпълнена със светлина пирамида. И всички се разпръскваха на парчета.“
Изкушаващо е да разглеждаме тези пасажи в „Петербург“ - с разширяващите се сфери, които избухват на парчета; с танцуващите точки с въртящи се центрове, оформящи най-различни геометрични фигури – като преднамерен литературен израз на парадокса на Банах-Тарски, но, уви, дори връзката между Бели и Полската школа не подкрепя подобна интерпретация.
Тук е подходящият момент да цитираме биограф на Бели: „Той [Бели] е убеден, че научните открития са предшествани от изкуството. Така например, конкретното осъществяване на формата в гръцката скулптура е направило възможно постулирането на теоремите на геометрията.“ Дали случайно или не, но Бели подкрепя своя собствена теория, като изпълва „Петербург“ със символизъм, намекващ за математика, която ще се появи десетилетие по-късно.
 
Космически съвпадения
Нека започнем последната част, като покажем колко зловещи и необясними прозрения е имал Бели понякога. Един пример за това е свързан със самия му роман „Петербург”. В посмъртно публикуваните си мемоари Бели признава, че един от героите му – Липанченко - е вдъхновен от прочутия двоен агент Евно Фишелевич Азеф, който работи едновременно и за тайната царска полиция, и за терористичната групировка на Партията на социалистите-революционери. (Любопитно е, че Бели дава на своя провокатор презиме, което зловещо прилича на псевдонима, използван от Азеф, докато живее в Берлин – „Липченко“ – съвпадение, което впоследствие изумява самия Бели, защото той няма как да е знаел псевдонима, работейки върху романа.)“
Друг пример е свързан със смъртта на Бели, която литературният критик Мочулски описва по следния начин: на 17 юли 1933 г. в Коктебел Бели получава слънчев удар и умира в Москва на 8 януари 1934 г. Той предрича смъртта си в стихотворение от 1907 г.:
Вярвах в златните искри,
но от слънчеви стрели умрях.
С мисли векове броих,
Но живот добър аз не видях.
 
Слънцето е важен символ в окултното антропософско течение, към което е принадлежал Бели, докато е пишел „Петербург“. Едно от имената на Исус в антропософията е „Слънчево божество“. Веднъж Бели ентусиазирано възкликва: „Тя вече е сред нас, с нас, реална, жива, близка – тя, най-сетне признатата Муза на руската поезия, се оказа слънцето“. И в самия „Петербург“ има красив откъс, в който слънцето е сложено в контекст, бегло напомнящ парадокса на Банах-Тарски: „Нямаше Земя, нито Венера, нито Марс, а само три въртящи се пръстена. Току-що се беше показал четвърти, а едно огромно слънце все още се готвеше да се превърне в свят. Профучаваха мъглявини. Николай Аполонович бе запратен сред безмерната необятност и разстоянията се лееха.“
Сферичната планета, която се е взривила, и мъглявините, превърнали се в профучаващи облаци прах, доста напомнят обяснението на Манин за парадокса на Банах-Тарски. Дори споменатите думи „разстояния“ и „безмерен“, разбиран като „неизмерим”, са два от компонентите на парадокса.
Не на последно място, парадоксът на Банах-Тарски, познат още като парадоксът на граховото зърно и Слънцето, в света на Бели придобива мистичното значение на малък, незначителен обект, който се превръща в самия Христос или в музата на руската поезия. Както вече стана ясно, малко вероятно е да намерим причинно-следствена връзка между „Петербург“ и парадокса на „Банах-Тарски“, ето защо трябва да приемем тези тематични и езикови връзки просто като космически съвпадения. Бели би бил горд от себе си, задето е показал, че откритията в изкуството понякога предшестват и провокират научните открития.
Нека завършим с едно последно съвпадение, този път нумерологично. Числото пет се среща често в „Петербург“. Например:
„Там къщите се сливаха подобно на кубове в прав, пететажен ред.“ [стр. 10]
„Така той спеше от пет години.“ [стр. 15]
„Тогава с всичките си пет пръста той започна да дрънчи на китарата.” [стр. 67]
„Той въртеше колелото от пет години.” [стр. 232]
Най-забележителното е, че виждаме числото пет да се появява в откъс, отново свързан с разширяване и неизмеримост:
„Превръщах се, разбирате ли, в неизмерим простор и всички предмети се разрастваха с мен – стаята ми и върхът на Петропавловския събор. Вече нямаше накъде да се разраствам. И в края, точно на изхода – там сякаш имаше ново начало, което беше най-безумно и странно, може би защото нямам орган, с който да схвана значението му. Вместо сетивните органи, имаше „нула“. Усещах нещо, което дори не беше нула, а нула минус нещо, да речем минус пет.“
Преобладаването на числото пет е тълкувано според антропософичната нумерология, но ние ще завършим статията, като просто припомним, че пет е и броят на парчетата, на които една сфера трябва да бъде разделена, за да може от нея да се получат две, както гласи парадоксът на Банах-Тарски.
 
math.HO - History and Overview, 16.10.2017
Превод от английски Катерина Станковска


[1] Вацлав Серпински (1882 - 1969) е полски математик, известен с приносите си към теорията на множествата; теорията на числата; теорията на функциите и топологията. Три от най-известните типа фрактали носят неговото име: триъгълникът на Серпински, килимът на Серпински и кривата на Серпински.